【还是直接点原文链接看吧】利用线性代数解决牛吃草问题442802g

满眼的百度用户内部交流……http://tieba.baidu.com/p/2182356484牛吃草问题是奥数中的经典题型。其经典解法数学运算比较简单，但是比较难以理解。而且光靠死记硬背经典解法不利于知识本身的拓展。而将其用线性代数理论来解的话则会形成一套完整的体系，也更能反映这类问题的本质。一、牛吃草问题的标准形方程组 先来看一个最经典的例子。 例1：有一片不断匀速生长的草地，可以供12头牛吃9周，可以供15头牛吃6周，那么可以供9头牛吃几周？ 解：原先的经典算术解法如下： 利用差量法求出每周新生的草（草的生长速率）：原有草的数量：12头牛每周吃的草：一共可以供9头牛吃的时间，这相当于一个追及问题：以上解法在计算方面没有问题，但是由于涉及差量计算，比较难以理解。如果用纯粹列方程来做，则比较容易理解，但是却不易求解。下面我们用线性代数中的线性方程组理论来进行问题分析。 未知量非常多，这里设原有草的量为x1，草的生长速率为x2，每头牛吃草的速率为x3，而设可以供9头牛吃k周。于是我们可以列出下列方程组：我们把等号右端的项移到等到左边，得到(6)：因此，牛吃草问题可以化为解方程组问题。(6)式叫做对应牛吃草问题的标准形方程组。 标准形方程组具有以下几个特点：1)、方程组为含参数的齐次方程组；2)、x1的系数是1，x2的系数是牛吃草的时间，x3的系数是牛的数量和牛吃草时间之积的相反数；3)、该齐次线性方程组的未知数数目和方程个数相等，且必有非零解（因为原有草量、草的生长速率、牛吃草速率不可能为0）。二、牛吃草问题的线性代数解法 仍然考虑上述问题。我们将线性方程组写成矩阵形式：由标准形方程组的第三个特点，该线性方程组必有非零解，r(A)≤2。但是该矩阵存在不为0的二阶子式，故r(A)≥2。所以由以上得知r(A)=2。进一步可知，该方程组的解中只包含有一个基础解系。 我们现在的任务是解出k，于是问题转化为：当k取什么值的时候，该齐次线性方程组存在非零解？由于矩阵是3×3的方阵，因此可以进行初等行变换来使得最后一行变为全0，也可以令行列式| A |=0。下面分别用两种方法来做。 如果对矩阵采用初等变换，则有：这个方程组必有非零解，故必须54-3k=0，即k=18。 如果令行列式为0，则有：由此可知，9k=162，k=18。这两种方法和算术解法答案一致。 如果还需要知道原来的草量、草的生长速率和每头牛吃草的速率，只需要求出该齐次方程组的基础解系即可。事实上这三个未知量有无穷组答案。 由上面的分析可知，牛吃草问题的线性代数解法不需要求出三个辅助的未知量，易于理解，便于操作。三、牛吃草问题答案公式的推导 我们将上述例题的具体数值换成字母，得出一般的求解公式。 例2：有一片不断匀速生长的草地，可以供a1头牛吃b1周，可以供a2头牛吃b2周，那么可以供a3头牛吃多少周？ 解：我们设原有草的量为x1，草的生长速率为x2，每头牛吃草的速率为x3，而设可以供a3头牛吃k周，可以直接写出系数矩阵：根据条件b1≠b2，因此这个矩阵存在一个二阶子式不为0，而这个齐次方程组又必有非零解，因此r(A)=2。这里我们采用令行列式为0的方法来进行求解。由于直接求解比较繁琐，所以我们先进行初等变换再利用展开定理进行求解。根据条件b1≠b2，因此这个矩阵存在一个二阶子式不为0，而这个齐次方程组又必有非零解，因此r(A)=2。这里我们采用令行列式为0的方法来进行求解。由于直接求解比较繁琐，所以我们先进行初等变换再利用展开定理进行求解。经过整理，得到(12)：公式(12)就是牛吃草问题答案公式。 在这里我们顺便把这个方程的解求出。由于r(A)=2，故其基础解系可以由前两行确定。所以，得到基础解系： 这个基础解系可以对应那三个量的数值。如果给出了比例系数或者具体量纲，则可以求出具体的数值。 值得强调的一点是：牛吃草问题公式不是用来套的，遇见具体的问题，我们仍要用上边学到的线性代数方法来进行计算。四、算数解法的线性代数理论解释 我们再次使用算术法来进行一般求解，并与上述线性代数解法进行对比。 首先使用差量法求草的生长速率，即求x2：然后求原有草的数量，即求x1：其次是a1头牛每周吃的草，即求a1x3：于是有了最后的结果：从以上过程可以看出，在经典解法中，我们首先求得的草生长速率其实已经隐含了一个条件，那就是每头牛每天吃草的速率是1。也就是说，a1头牛在b1周内吃的草的量应该是a1b1再乘上每头牛每天吃草的速率（因此算术解法的式(17)是没有必要的）。这个隐含条件事实上在线性代数解法中就是给自由变量赋值的过程。而差量法的计算过程就是对系数矩阵进行初等变换的第一步。其余各未知量的计算则是由自由变量计算主变量的逆推过程。 我们在这里还隐藏着一个条件，即我们事先知道了这个齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，也就是说，可以直接通过前两个方程就确定这个方程组的唯一的基础解系。因此，我们在进行算术计算的时候不会用到a3这个条件，仅仅在最后一步求k用到了。 所以由以上的分析，我们可以采取一种折中的简单解法，即先假设每头牛每天吃草量为1，然后根据前两个方程解出草生长的速率和原来的草量，代入第三个方程就可以得出待求的天数。由于类似这样的牛吃草问题的系数矩阵的秩均为2，因此这么做是合理的（也更利于小学奥数的教学工作）。 由此可见，算术解法和线性代数解法具有统一一致性，线性代数理论能给算术解法提供理论根据，也进一步简化了自身复杂的初等变换过程。五、小学奥数中牛吃草问题新解法 我们用上面的线性代数解法来解决小学奥数中的牛吃草问题，包括了各式各样的问题变体。 例3：一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 解：这是典型的牛吃草问题变形。设预存水量为x1，进水速率为x2，每根出水管子速率为x3，我们要求x1/ x2的值（即晚开的时间）是多少。因此这里不涉及系数矩阵的第三行。写出系数矩阵并加以初等变换：自由变量是x3，令x3=3，则x2=1，x1=40。则x1/ x2=40。晚开40分钟。 需要强调的是，由于方程组的通解只包含一个基础解系，因此，所有解均成比例，即比值不变。例4：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解：草生长速率为负，但不妨碍用线性代数方法解。设原有草的量为x1，草的生长速率为x2（负数），每头牛吃草的速率为x3，而设可以供k头牛吃10天，则列写系数矩阵并化简：由于r(A)=2，因此10=20-2k，k=5。 草的生长速率为正，实际上是和牛吃草这一过程相对抗，称之为拮抗作用；而生长速率为负，则是和该过程趋向一致，称之为协同作用。从这个例子我们看出，拮抗作用对应化简矩阵第二行（包括第三行）后两项元素为异号，协同作用对应化简矩阵第二行（包括第三行）后两项元素为同号。这一结论可以检验列写矩阵及其初等变换的正确性。 例5：一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 解：原有草的量为x1，草的生长速率为x2，每头牛吃草的速率为x3。由于牛吃草问题的前两个方程直接可以确定基础解系，因此只列出前两个方程的系数矩阵并进行初等变换：令x3=1，则x2=9，x1=240。 接着直接用一次方程就可以解决，设牛原来有k头，则：代入基础解系的各值，解得：k=40。 事实上，我们仍可以用三个方程的方法来做，我们将(22)整理成(23)：于是写出矩阵并直接化简到最后一步：解得：k=40。 由以上例子可知，线性代数为我们提供了解决牛吃草问题几乎是最佳的方案，省去了算术解法中间繁杂的假设条件和分析过程，取而代之的是一套简单易行的矩阵初等行变换和自由变量赋值求解过程。对于教奥数的教师来讲，虽然小学生不懂矩阵，但是可以利用这种方法来进行教学思路的简化，做到真正把这个问题分析透彻。转自化吧 http://tieba.baidu.com/p/2182356484